Jongleeraus ja matematiikka

 Filosofian tohtori, matemaatikko ja jonglööri Harri Varpanen on yhdistänyt työssään matematiikkaa ja jongleeraamista. Varpanen on käsitellyt muun muassa jongleerauksen satunnaiskuvioita ja tilaverkkoja. Tässä postauksessa esitellään lyhyesti klassisen jongleerauksen matemaattista mallia, eli siteswappia, sekä sen soveltamista matematiikan opetuksessa Varpasen haastattelun pohjalta. Kommentoi alle ajatuksiasi ja vaikka ehdotuksia harjoitustehtävistä eri asteille kokeiltavaksi!

Siteswap

Jongleeraamista voidaan matemaattisesti mallintaa siteswap-merkintätavalla. Kyse ei ole vain matemaatikkojen tavasta kuvata jongleerausta, vaan yleisesti käytössä oleva tapa merkitä erilaisia jongleerauskuvioita. Yksinkertaisesti siteswap-merkintätapaa voidaan kuvata näin:

Tyypillinen kolmen pallon heitto, jossa kolme palloa heitetään vuorollaan kädestä toiseen tasaisessa rytmissä, voidaan kuvata numerosarjalla 333333... Luku kolme tarkoittaa tahtiväliä, jolloin sama pallo heitetään aina uudelleen (Kuva 1). Sarjassa toistetaan yhä uudelleen kolmosheittoa, joka on noin otsan korkeudelle kohoava, kättä vaihtava heitto. Matemaattisen mallin kannalta heiton korkeus ei ole oleellinen, kunhan se on matalampi kuin luvulla 5 merkitty heitto ja korkeampi kuin luvulla 1 merkitty heitto.

Jongleeraussarjojen merkitsemisessä pätee sama logiikka kuin matematiikassa. Sarjaa 3333... voidaan merkitä ytimekkäästi luvulla 3. Tätä kolmen pallon kaskadiksikin kutsuttua heittoa voidaan havainnollistaa koordinaatistossa kuten Kuvassa 1. Siteswap-malliin kuuluu oletus, että joka toinen heitto heitetään vasemmalla ja joka toinen oikealla kädellä. Aloituskädellä ei ole väliä.

Kuva 1 Varpanen: Kaskadi [1]

Kuvan 1 vaaka-akselilla on rytmitetty aika ja pystyakselilla heiton korkeus. Negatiivinen korkeus tarkoittaa, että palloa pidetään kädessä. Yhden pallon lentorata on vahvistettu. Jos oletetaan jonglöörin olevan ideaalinen ja heittavän pallon kädestään samaan aikaan kuin se siihen saapuu, voidaan samaa kolmen pallon perusheittoa kuvata kuten Kuvassa 2. [1]

Kuva 2 Varpanen: Ideaalinen kaskadi [1]

Näin ollen siteswap-kuvioita voidaan kuvata bijektiivisellä funktiolla f(t). Aiheesta lisää Varpasen pro gradu - tutkielmassa [1].

Luvulla 0 tarkoitetaan tyhjää kättä. Luvulla 1 pallo heitetään vaakasuoraan kädestä käteen, luvulla 2 voidaan heittää pieni heitto samaan käteen (pallo palaa samaan käteen, josta se lähti). Luku 4 vastaa taas lukua 2 korkeampaa heittoa samaan käteen, luku 5 lukua 3 korkeampaa heittoa eri käteen ja niin edelleen. Parilliset luvut laskeutuvat samaan käteen ja parittomat eri käteen (vrt. Kuva 3 siteswap-kuvio 423). Luku 2 voi olla pieni heitto, mutta sitä voi myös pitää kädessä kuten useat simulaattorit esittävät.

Esimerkkinä kolmen pallon heittosarja 423423423... eli 423, jossa ensimmäinen pallo lentää aloituskädestä suoraan ylöspäin, toinen toisesta kädestä hieman matalammalle ja kolmas heitto on sama kuin yllä oleva kolmosheitto. Tätä voidaan havainnollistaa Kuvalla 3. Oletuksena on, että kädet heittävät rytmissä vuorotellen ja jokaisella heitolla heitetään korkeintaan yksi pallo. 

Kuva 3 Varpanen: 423 [1]

 

Simulaattorilla voidaan kuvata erilaisia siteswap-kuvioita ja niiden ajaminen auttaa jongleerauskuvioiden hahmottamista.

  Jongleeraus ja matematiikka

Varpanen aloitti matematiikan opinnot Turussa vuonna -97. Seuraavana vuonna hän sai kyynärpäävamman, jota kuntouttaakseen hän alkoi opetella jongleerausta. Varpasen kiinnostus matematiikan ja jongleerauksen yhdistämiseen syntyi tarpeesta simuloida erilaisia heittosarjoja.

Harri Varpanen. Kuva: Valokuvaaja Iida Liimatainen

Miksi kannattaa yhdistää matematiikkaa ja jongleerausta? 

Varpanen: Siteswap-malli on monipuolinen ja hyvin yleinen. Jos on kiinnostunut diskreetistä matematiikasta tai ohjelmoinnista, niin jongleerausmalli on mielenkiintoinen. Malli ei ole sidottu mihinkään teollisiin tarkoituksiin eikä sillä yritetä tehdä rahaa. Myös liikunnan ja taukojumpan näkökulmasta jongleeraus on hyvä lisä. Itsekin heittelen kolmea palloa töiden välissä niin saan availtua hartioita. Jongleeraus myös rentouttaa mieltä. Jos tuntee olevansa umpikujassa ja jumissa vaikka ohjelmoinnin tai matematiikan ongelman kanssa, pieni jongleeraushetki saa unohtamaan ongelman hetkeksi ja ongelma saattaa pienen irtioton jälkeen ratketa.

Mitä hyötyä jongleerauksesta on matematiikalle? Entä toisinpäin?

Varpanen: Satunnaisjongleerauskuvioita miettimällä voidaan ratkaista myös muita diskreetin matematiikan ongelmia. Jongleerauksessa voidaan esimerkiksi kysyä, kuinka yleisiä ovat tietyt kuviot jos heitetään satunnaiselle korkeudelle jollakin tietyllä todennäköisyysjakaumalla. Tämä pohdinta johtaa sellaisiin diskreetin matematiikan ongelmiin, joita esiintyy muuallakin. Esimerkkeinä jonoilmiöt, differenssiyhtälöt ja sijoitusmaailman ongelmat, joissa pyynnöt ja tarjoukset voidaan rinnastaa jongleerausmallinnuksen palloihin ja antipalloihin.

Olen oppinut paljon jongleerauksesta matematiikan avulla. Esimerkiksi uusia kuvioita löytyy matematiikan ja simuloinnin avulla. Erilaisten passailukuvioiden (jonglöörit heittelevät toisilleen esineitä) hahmottaminen ja oikean rytmin hakeminen saattaa olla aikaa vievää, mutta tietokone osaa hetkessä laskea ja havainnollistaa oikean rytmin.

Oletko käyttänyt jongleerausta matematiikan opetuksessa? Miten siihen suhtauduttiin?

Varpanen: Kyllä. Pidin Aalto-yliopistossa kolmannen vuoden matematiikan opiskelijoille viiden opintopisteen kurssin. Kyllähän sitä sai selitellä välillä että ihan oikeaa matematiikkaa täällä tehdään. Opiskelijat kuitenkin pitivät kurssista ja taso vaikutti sopivalta. Lukioon tai peruskouluunkin olisi mukava kehittää kurssin materiaalista yksinkertaistettuja tehtäviä ohjelmoinnin opetuksen yhteyteen.

Harri Varpasen töitä ja kurssimateriaaleja löytyy tämän linkin alta.

 

Lähteet:

[1] Harri Varpanen: Jaksollisista jongleerauskuvioista. Viitattu 15.2.2021 https://student.labranet.jamk.fi/~varpha/research/jong.pdf